Súbory na stiahnutie

Článok vo formáte pdf

Pracovný hárok v programe Excel – aktualizovany 3.12.2010

Taguchiho Latinske stvorce pre zostrojovanie experimentov

Návod na vytvorenie DoE v programe MiniTab

1. Úvod

1.1 Účel/cieľ/zámer Design of Experiment

Navrhnutie experimentov má veľa potenciálnych použití v zlepšovaní procesov a výrobkov

• Porovnanie alternatív: keby sme okrem rozmerov papierovej helikoptéry, testovali aj druh použitého papiera (bežný kancelársky papier vs. kriedový papier). Výsledkom by bolo porovnanie alternatív použitého papiera, ak by faktor nebol významný tak by sa používala lacnejšia alternatíva a ak bol tak by sa používala drahšia/kvalitnejšia alternatíva (v tomto prípade by bolo následne potrebné zvážiť, aký vplyv má táto úroveň faktora na výsledok – pretože to zmení správanie sa papierovej helikoptéry)
• Identifikovanie významných vstupov (faktorov): určenie hlavných faktorov ktoré najviac ovplyvňujúcich výstupov (odozvu) a ich oddelenie od mnohých nepodstatných
• Dosiahnutie optimálneho výstupu procesu (odozvy): aké sú nevyhnutné faktory a aké sú ich úrovne (level)
• Zníženie variability: určenie či môžu byť faktory a ich úrovne zmenené tak, aby sme dosiahli s väčšou pravdepodobnosťou ten istý výsledok
• Minimalizácie, maximalizácia alebo zmenenie cieľa výstupu (odpovede): príklad z koláčom: nakoľko musí byť vlhký aby sa nerozdrobil
• Zlepšiť proces alebo produkt „robustnosť“: vhodnosť pre použitie za rôznych podmienok. „môžu byť faktory a ich úrovne (recept) zmenené, tak aby koláč bol takmer rovnaký, bez ohľadu na to aký typ trúby (elektrická, plynová, teplovzdušná) bude použitý?
• Vyvážené kompromisy: keď sú tam viacnásobné kritické charakteristiky kvality (Critical to Quality Characteristics – CTQCs) – „ako spraviť čo najlepší koláč s čo najmenej zložkami (čo najjednoduchší recept) a s čo najkratšou dobo pečenia?“ [1]

Pri navrhovaní experimentu, je potrebné venovať zvláštnu pozornosť na štyri potenciálne pästí, ktoré môžu vytvoriť v experimentálne ťažkosti [1]:

1. Okrem chyby merania (measurement error), ďalšie zdroje chýb alebo nevysvetliteľné variácie, môžu zahmliť (zatemniť) výsledok
2. Nekontrolovateľné faktory, ktoré spôsobujú variáciu (odchýlky) pri normálnej prevádzke „šumové faktory“ (noise factors). Tieto faktory ako viac strojov, rôzne zmeny (ranná zmena, poobedná zmena – shifts), základné suroviny a iné, môžu byť zaradené do experimentu. Kľúčová sila návrhu experimentu je schopnosť určiť faktory a nastavenia ktoré minimalizujú efekty neovplyvniteľných faktorov
3. Korelácia môže byť často zameniteľná s príčinou. Dva faktory, ktoré sa odlišujú môžu mať vzájomný vzťah (korelačné), bez toho aby jeden pôsobil na druhý – môžu obidva spôsobiť tretí faktor
   Pr.: V procese porcelánového smaltovania vane sa občas vyskytuje problém s drsnosťou skloviny. Manažér zistí, že tento problém sa vyskytuje v dňoch s nižšou výrobnou produktivitou. Pokiaľ by boli údaje analyzované bez znalosti o fungovaní procesu, mohlo by dôjsť k chybným záverom.
   Dôvodom bolo nadmerné absentérstvo, keď bežný operátori boli nahradený menej skúseným pracovníkom.
   Kľúčom je zahrnúť do procesu ľudí ktorý pracujú s procesom denno-denne
4. Kombinácia účinok alebo interakcie medzi faktormi vyžadujú opatrné myslenie pred vykonaním experimentu. Pestovanie – ak pridáme viac vody má to lepší efekt, ak pridáme veľa vody začnú rastliny hniť, rovnako s hnojivom ak ho dáme veľa má to negatívny výsledok. Faktory môžu tvoriť nelineárne efekty, ktoré musia byť študované viac komplexne nie len s dvoj úrovňovým nastavením (3-úrovňovú analýzu procesu som nenašiel vysvetlenú, ale sú SW programy ktoré ju dokážu zrealizovať)

1.2 Taguchi filozofia

Taguchiho filozofia je založená na troch jednoduchých a podstatných konceptoch [2:

1. Kvalita by mala byť navrhovaná do produktu a nie kontrolovaná
2. Kvalita je najlepšie dosiahnuteľná minimalizovaním odchýlok od cieľa. Produkt by mal byť navrhnutý, tak aby bol odolný voči „nekontrolovateľnosti“ (náhodné vplyvy)
3. Cena kvality by mala byť meraná ako funkcia odchýlky od štandardu a strata by mala byť meraný široký systém

Taguchi veril, že je lepšie zlepšovať kvalitu návrhom a zostrojením. Zlepšovanie kvality začína na samom začiatku počas etapy návrhu produktu, alebo procesu a pokračuje cez výrobnú fázu. Taguchi pozoroval že nízka kvalita nemôže byť zlepšená procesom inšpekcie, preverovania a opravy (salvaging). Inšpekcia iba narába so symptómami [2].
Druhý princíp sa zaoberá efektívnymi metódami. Tvrdí, že kvalita je spojená s odchýlkou od navrhnutých parametrov z cieľovej hodnoty, nezhody určitých špecifikácií [2].
Tretí princíp vyzýva na meracie odchýlky od daného navrhnutého parametra v zmysle od celkového životného crkla ceny produktu. Táto cena môže zahrňovať cenu zošrotovania, prepracovania, inšpekcie, reklamácie [2].

2 Analýza – pokračovanie

2.1 Hodnotenie efekt

V predchádzajúcom článku (ako som spomínal v komentári) som nevypočítal efekt ale kontrast faktora. Navyše ako som neskôr zistil aj ten kontrast bol vypočítaný nesprávnym spôsobom. Opäť ho budem vysvetľovať v kapitole 2.5 Hodnotenie kontrastu faktora

Výpočet efektu faktora sa ráta ako hlavný účinok horná úrovne faktora mínus hlavný účinok dosiahnutý na dolnej úrovni.

Efect_A = A₂ – A₁ = 2,215 – 2,309 = -0,094
Efect_B = B₂ – B₁ = 2,212 – 2,312 = 0,1005

Významnosť faktora sa určuje týmto rozdielom, čím je tento rozdiel medzi hornou a dolnou úrovňou faktora väčší, tým je faktor významnejší.

2.1.1 Grafické hodnotenie efektu faktora – normálne diagramy

Hodnoty efektov sa zoradia od najmenšieho po najväčší (A-Z) a následne sa vypočíta pravdepodobnosť P_i

m – počet faktorov a interakcií (15); i – poradie

Neviem prečo sa tieto diagramy nazývajú “úplný normálny diagram“ a „polovičný normálny diagram“.
Prvý diagram je zostrojený ako „závislosť XY“ (vľavo), kde na osi x je absolútna hodnota efektu a na osi y je pravdepodobnostné rozdelenie (p_i). Názvy jednotlivých bodov sú pridané ručne, pretože stále neviem ako by som tam mohol pridať popisku bodov. Bola by možnosť vytvoriť 10 osobitných radov a potom pridať ako popisku bodov „názov radu“, ale potom by sa nedala vytvoriť trendová čiara.
Druhý diagram má na osi x faktor a na osi y je absolútna hodnota efektu. Výzorovo sú tieto diagramy trochu odlišné pretože, na os y (os hodnôt) nemožno dať textové znaky, ale musia to byť číselné. Teda efekt je na oboch diagramoch na inej osi. Ale keďže popis hodnôt je pridaný ako „hodnoty x“ pri zmene údajov sa presunú spolu so zmenenou polohou bodov, na rozdiel od prvého, kde sú pridané ručne.

Obr. 1 Normálny diagram efektu

V týchto diagramoch sa skúma ako sa hodnoty nachádzajú okolo regresnej krivky.

V tomto prípade sa žiadny bod nenachádza významnejšie vzdialený od regresnej krivky.

Polovičný normálny diagram efektu sa zostrojuje z absolútnych hodnôt efektov.
Opäť sa efekty zoradia od najmenšieho po najväčší (A-Z) a následne sa vypočíta pravdepodobnosť

Obr. 2 Polovičný diagram efektu

Ja som sa rozhodol pre prehľadnejšie zobrazenie, zostrojiť stĺpcový diagram s hodnotami jednotlivých efektov a bodový diagram.

Najvýznamnejšie faktory sú AD, BC (0,353) a C (0,2755)

Obr. 3 Efekt jednotlivých faktorov zobrazený pomocou stĺpcového diagramu

2.2 Analýza efektov pomocou Paretovho diagramu

Paretov diagram je založený na princípe že 80% nezhôd/chýb spôsobuje 20% príčin.
Všeobecná konštrukcia Paretovho diagramu [3]:

1. Vymedzenie (určenie) všetkých možných typov nezhôd a príčin
2. Stanoviť kritérium podľa ktorého sa budú analyzovať nezhody, príčiny. Obvykle to býva početnosť, vynaložené náklady, závažnosť a podobne
3. Stanoviť časový úsek zberu údajov
4. Zhromaždiť údaje (kontrolný list, formulár, tabuľka)
5. Hodnoty vo forme tabuľky sa usporiadajú od najväčšieho po najmenšie (Z-A)
6. Okrem absolútnej početnosti sa pridá aj kumulovaná početnosť a kumulovaná relatívna početnosť (obvykle v percentách)
7. Zostrojí sa graf, v ktorom na vodorovnej osi sú uvedené všetky druhy nezhôd v rovnakom poradí ak sú v pripravenej tabuľke (teda v klesajúcom poradí). Na ľavej zvislej osi sú vynesené príslušné absolútne početnosti a na pravej zvislej osi sú vyznačené kumulatívne reaktívne početnosti. V koncových bodoch sú vynesené relatívne početnosti. Spojením bodov sa dostane lomená čiara (Lorenzova krivka)
8. Vynesie sa / pridá sa čiara hladiny dôležitosti obvykle 80%, ktorá oddeľuje nezhody ktoré je potrebné riešiť

 

Relativná početnost:
BC=(0,353/1,4)*100 = 25,214
C = (0,2755/1,4)*100=19,6785

Kumulatívna relativná početnost
BC = Relativná početnost = 25,214
AD = Kumulatívna relativná početnost BC + Relativná početnost AD = 25,214 + 25,214 = 50,429
C = 50,429 + 19,679= 70,107

Obr. 4 Paretov diagram faktorov

Neviem prečo vlastne tie najpodstatnejšie faktory na zameranie majú byť tie čo majú najnižší efekt/ najnižšiu početnosť?

2.3 Matematický model pre predpovedanie experimentu založený na efekte faktorov

(Snažil som sa nájsť niekde, či v rámci experimentu nie je možné vypočítať optimálne nové hodnoty pre experiment, ale nenašiel som)

DA,B,C… – hodnota efektu A,B,C …
A,B,C … – úroveň faktora pre danú kombináciu experimentu (1,-1)

Pre E4 (prvý riadok) bude táto rovnica nasledujúca

Rovnicu pre predpovedanie experimentu: možno využiť na otestovanie/predpovedanie výsledkov experimentov ktoré neboli zrealizované, pomocou vytvorenia rovnice v programe Excel.
(Škoda, že som nenašiel skôr tabuľku na Latinské štvorce a experiment nespravil s 8 faktormi)

(tu boli v predchádzajúcej verzií chyby spôsobené zlým návrhom tabuľky experimentu aktualizované 3.12.2010)

Tab. 5a Výsledok matematického modelu

Tab. 5b Výsledok matematického modelu – pôvodný chybný

Podľa matematického modelu v programe Excel (karta „Matem_model“) vyšiel:
1. E1 o 0,23 [s] vyšší ako v experimente (A1, B2, C2, D1)
2. E5 o 0,12 [s] vyšší ako počas pokusu (A2, B2, C2, D2)
3. (A1, B2, C2, D2)

Tab. 5c Výsledok matematického modelu úplného experimentu

2.4 ANOVA – analýza rozptylu

ANOVA – analysis of variance – metóda pomocou ktorej sa zisťuje vplyv faktorov na kvalitu. Vznikla v poľnohospodárstve pri skúmaní rôznych faktorov na úrodnosť plodín.

Pri tejto analýze sa testuje hypotéza, že stredné hodnoty jednotlivých skupín (faktorov a ich úrovní) sa rovnajú

One-way analysis – analyzuje sa vplyv iba jedného faktora (stĺpce alebo riadky skúmaných skupín). Metóda je založená na predpoklade, že každá skupina má normálne rozdelenie a rozptyl je konštantný medzi skupinami, ale môže byť použitá aj v prípadoch keď nie sú splnené.
Two-way analysis – analyzuje sa vplyv dvoch faktorov. Riadky predstavujú rôzne úrovne/hodnoty jednej premennej a stĺpce druhej premennej. Každé pozorovanie je reprezentované jedným bodom reprezentujúcim kombináciu daných dvoch faktorov.
Three-way analysis – je založený na modeloch a predpokladoch predchádzajúcich dvoch analýz. Počet pozorovaní sa = počet stĺpcov x riadkov x vrstiev. Je to vlastne dvojfaktorová ANOVA ibaže s opakovaným meraním.

Funkcia FDIST vráti hodnotu rozdelenia pravdepodobnosti F. Pomocou tejto funkcie možno určiť, či majú dve množiny údajov rôzne stupne odlišnosti [4].

Syntax: FDIST(F; stupeň voľnosti 1; stupeň voľnosti 2)

 

F – hodnota ku ktorej sa má vypočítať Besselova funkcia
stupeň voľnosti 1 – počet stupňov voľnosti v čitateli
stupeň voľnosti 2 – počet stupňov voľnosti v menovateli

n – počet meraní;   k – počet skupín; ak že F < F _{(k-1;n-k; 1-a)} H₀ sa príma

Pri analýze som jednotlivé úrovne faktorov testoval ako osobitné kategórie hodnôt. Ak by sa hodnoty faktora zlúčili, ako jedna skupina hodnôt. Tak by sa jednotlivé hodnoty odlišovali iba rozptylom, pretože priemery jednotlivých skupín sú rovnaké (karta v zošite Excel „Anova-4fakt“).

Tab. 10 ANOVA – zlúčené úrovne faktorov Analýza ANOVA bola urobená z:

• priemerných hodnôt jednotlivých experimentov a
• všetkých hodnôt experimentov

Tab. 11 Výpočet ANOVA z priemerov jednotlivých experimentov

F_{7;24; 0,05} = 2,6206

Platilo by, že F < F _{(k-1;n-k; 1–a)} , H₀ by sa prijalo, teda priemerné hodnoty jednotlivých skupín sa rovnajú. Nenachádzajú sa žiadne významné faktor v skúmaných skupinách.

Ale, v prípade, keď som použil všetky namerané údaje nie priemerné hodnoty experimentov, vyšiel odlišný výsledok.

Tab. 12 Výpočet ANOVA s použitím všetkých nameraných hodnôt

F_{7;312; 0,05} = 2,039
Neplatí že F < F _{(k-1;n-k; 1–a)} ,H₀ sa neprimá, pretože vypočítaná hodnota je väčšia, teda medzi jednotlivými skupinami sa nachádzajú významné faktory.

Analýzy jednotlivých faktorov som urobil pre porovnanie z:

• priemerných hodnôt jednotlivých experimentov a
• všetkých hodnôt

Ako možno vidieť s tabuľky 13, pri výpočte ANOVA sa musia používať všetky hodnoty merania.

Z analýzy možno usúdiť že významný je faktor C a jeho kombinácie

Jednotlivé výsledky som si porovnával aj z výsledkov získaných pomocou programu MiniTab. Tieto výsledky sa odlišovali a nevedel som prísť na to prečo my nevychádzajú rovnaké výsledky (tieto výsledky sa odlišovali v hodnote F pri faktore A,B približne o 35% a pri faktore C o 5%). Na základe ukážky riešenia ANOVA z kontrastu faktora som prišiel na nasledujúci postup výpočtu:

Problémom bolo že som vedel, že pre faktora A mám dostať SS_A= 0,17672 (hodnota z programu MiniTab). Náhodou som zistil, že túto hodnotu získam ak sčítam koeficienty n_i.t_i obidvoch úrovni faktora. Potom bol, už postup rovnaký aký bude pri analýze ANOVA pomocou kontrastu faktora.

Stupne voľnosti (degree freedom) = k-1 = 2 – 1 = 1
k = 2 (sú 2 úrovne faktora)

Významné sú hodnoty pri ktorých hodnota P < 1 – 0,95 = 0,05 , teda 5%

Pre zvýraznenie hodnôt ktoré vyhovujú tejto podmienke som použil podmienené formátovanie

Ako možno vidieť za významný možno považovať faktor C, prípadne aj faktor B.

2.5 Hodnotenie kontrastu faktora

(táto kapitola musela byť opravená, v predchádzajúcej verzií boli chyby spôsobené zlým návrhom experimentu – aktualizované 3.12.2010)

Na serveri YouTube, stránka http://www.youtube.com/watch?v=fiYYA6QX-2E&feature=related som našiel, že pri výpočte kontrastu sa nepočíta z priemernej hodnoty, ale zo sumy nameraných hodnôt, pre daný experiment [5].
Na univerzite sme dostali iba hodnotu Y a tak  som predpokladal, že tá reprezentovala priemernú hodnotu (prípadne možno v prípadovom príklade, bolo zrealizované iba jedno meranie)

 

Ukážka vypracovania sa nachádza na karte „Contras“

A, B, C, D – návrh experimentu podľa plánu (-1 dolná úroveň, 1 horná úroveň)

Kontrast pre prvý riadok (E4):
AB = A*B = (-1) * (-1) = 1 ; ABC = A*B*C = (-1)*(-1)*(-1) = -1

Suma odoziev (Response total): suma hodnôt z opakovania experimentu
E4 = 2,25 + 2,38 + 2,13 +2,1 + 2,31 …. + 2,25 = 22,40

Tab. 18 Výpočet kontrastu faktora

Kontrast efektu sa vypočíta vynásobením kontrastu a sumy odoziev

Tab. 19 Kontrasty faktorov a interakcií –  CHYBNÝ

Tab. 19 Kontrasty faktorov a interakcií –  CHYBNÝ

2.5.1 ANOVA z kontrastov faktorov

SS – Sum of Squares

n = 10: počet opakovaní merania
k = 4: počet faktorov (A, B, C, D)

Koeficient (coefficient) Bude potrebný pri matematickom modeli experimentu

Tab. 20 Koeficienty potrebné k výpočtu ANOVA – OPRAVENÝ

Tab. 20 Koeficienty potrebné k výpočtu ANOVA – CHYBNÝ

Obr. 13 Efekt faktorov založený na kontraste faktorov

Tab. 21 Výpočet hodnoty F a P

Efekt interakcie ABCD je značne väčší ako ostatné efekty a to má značný vplyv na výsledok ostatných hodnôt F. Z tohto dôvodu som sa ho rozhodol odstrániť z výpočtov.

Tab. 22 Výpočet hodnoty F a P bez interakcie ABCD
(v ľavo nová, v pravo pôvodná chybná)

Významné sú faktory ktoré sú menšie ako 5% teda

Pre matematický model sa odporúča používať iba tie faktory a interakcie ktoré vyšli ako významné.
Teda A, B, C, AC, AD, BC, BD,ABD, ACD, BCD

2.5.3 Matematický model založený na kontraste faktorov

Tab. 23 Koeficienty významných faktorov

Predpokladaná hodnota E4, podľa matematického modelu je 2,513 tento výsledok je väčší o 0,011s ako bol výsledok dosiahnutý experimentom

Y= 2,262 0,024.( 1) 0,0251.( 1) 0,069.( 1) 0,023.(1)…  = 2,25

Tab. 24 Porovnanie výsledkov z experimentu a vypočítaných pomocou matematického modelu

Tab. 25 Predpokladané výsledky experimentu podľa matematického modeluY1 – matematický model iba z významných hodnôt; Y2 – z všetkých hodnôt okrem ABCD

 

---

Použitá literatúra

[1] Design of Experiments (DOE), MoreSteam.com LLC, [on-line], [9.8.210], Dostupný z WWW <http://www.moresteam.com/toolbox/t408.cfm>
[2] Primer on the Taguchi method, ANJIT Roy, 1990 Society of Manufacturing Engineers, ISBN 0-87263-468-X, s.8, 9
[3] HORÁLEK Vratislav, Jednoduché nástroje řízení jakosti I, Národní informační středisko pro podporu jakosti, Výstup z projektu podpory jakosti č. 5/16/2004, Praha, 2004, ISBN 80-02-01689-0, [on-line], [14.2.2008], <http://www.npj.cz/publikace_get.asp?id_14=59>, s.45-46
[4] Nápovede programu Microsoft Excel pre funkciu FDIST, Microsoft
[5] MADAIN, 2 level Factorial Design, [on-line], (citované dňa 30.12.2010), [YouTube], <http://www.youtube.com/watch?v=fiYYA6QX-2E&feature=related>