Úvod

Nejprve bych rád vysvětlil určité souvislosti spojené ze způsobilosti procesu a následně, se budu věnovat výpočtu očekávaného PPM (Part Per Milion) z procesů. Článek navazuje na můj první článek:
https://bazant-quality.com/2010/10/25/spsobilost-procesu-process-capability/

Článek v PDF: 12_PPM_Cpk
Excel pro výpočet PPM: PPM_DPM_blog
Video: 12_PPM

1 Způsobilost procesu

Způsobilost procesu:
Pro určení způsobilosti procesu, se v praxi se nejvíce používají 2 indexy způsobilosti a to Cp a Cpk:

Mně osobně zajímám hlavně index Cpk, protože vyjadřuje, kde se průměrná hodnota nachází vzhledem k limitům procesu. Index Cp jenom vyjadřuje, jak dobře se proces vleze do specifikovaných limitů, ale neřeší polohu procesu k limitům (jestli je uprostřed procesu, anebo u horního případně dolního limitu)

Na obrázku níže je ukázka 2 výsledků procesů s limitem 40 ± 3. Oba mají Cp = 2,07 (1), ale ten druhý má Cpk= 1,04 a odhadované PPM 3.229, přičemž první proces má Cpk= 2,07 (2) a odhadované PPM procesů jenom 0,05 (3).
U prvního procesu je předpoklad, že pří vyrobení 1 milionu kusů by se neměl žádný výrobek nacházet mimo limit (PPM 0,05 znamená, že při výrobě 100 milionů kusů, bude 5 NOK). U druhého procesu je předpoklad, že při výrobě 1 milionu kusů bude 3.229 výrobků mimo specifikovaný limit.
Z kterého procesu chcete dostávat výrobek? Z prvního, kde je předpoklad PPM=0,05 anebo druhého, kde je předpoklad PPM= 3.229. Já osobně z toho prvního procesu. Proto index Cp zkoumám, až když není dobrý výsledek Cpk.

Pozn.:
PPM – Per Part Million – kolik NOK kusů je vyrobeno na 1 milion vyrobených kusů.
DPMO – Defect Per Million Opportunity – kolik NOK defektů na 1 milion příležitosti

Na následovném obrázku se pokusím vysvětlit co znamená 6σ a 3σ proces. Jedná se o vyjádření kolikrát se vejde ± σ (směrodatná odchylka) do tolerančního pásma.

Tabulka níže zobrazuje závislost mezi σ procesu a parametry procesu.

Zdroj [1]

Six Sigma systematika, počítá s posunutím střední hodnoty o ±1,5σ. Po přepočítaní posunutí procesu, výsledek je následovný:

Zdroj [1]

Teď si rozebereme jeden případ se kterým jsem se setkal.

Pracovník, chtěl pro nový proces určit tolerance. Proto náhodně si vybral 50 výrobků z první výroby a následně změřil sledovaný parametr. Výsledek hypotetického procesu je znázorněn níže.

Následně se rozhodnul určit limit následovným způsobem:
Směrodatná odchylka: σ=1,069
Průměrní hodnota: μ=39,94

Tolerance: μ ± 3σ = 39,94 ± 3*1,069 = 39,94 ± 3,207
— > USL: 43,147
— >LSL: 36,733

Pak se rozhodnul dané hodnoty zaokrouhlit:
— >Nominální hodnota: 40
— >Tolerance: ±3,2 (36,8 / 43,2)

Minimální hodnota byla 37,97 a maximální 42,46 teda z jeho pohledu zvolené limity jsou dostatečné (všech 50 výrobků se nachází v tolerančním rozsahu).
Ale z pohledu způsobilosti procesu to není ideální – na základě statistických parametrů, můžeme očekávat, že z 1 milionu vyrobených kusů bude 2.809 mimo specifikované limity (anebo jinak 0,28% výrobků se bude nacházet mimo specifikované limity).

Připomeňme si vzorec pro Cp a Cpk.
Pracovník si ne-nechal téměř žádnou rezervu pro budoucnost. Vlastně jenom „napasoval“ aktuální výsledek procesů na základě 50 hodnot, mezi limity.
Výsledek daného procesů je: Cp = 1 / Cpk = 0,98 / celkové očekávané PPM = 2.809

Pracovník měl počítat s minimálně ± 4σ a ideálně ± 6σ

Za předpokladu budoucího posunu procesu o ±1,5 σ náš proces bude mít následovní výsledek:

Nemůžeme předpokládat, že náš proces se časem nezmění (neposunou se hodnoty). Na výsledek procesu má vplyv mnoho parametrů (např. opotřebení nástrojů, šarže vstupního materiálu, přesnost sestavení komponent, tolerance vstupního materiálů, teplota, vlhkost, operátor …)

2. Výpočet PPM

Někdy se můžete setkat s požadavkem na odhadovaný výpadek z procesu. Jednou z možností je výpočet PPM na základě statistických parametrů procesu (statistický odhad kolik kusů bude mimo specifikované limity při výrobě 1 milionu vyrobených kusů). Případně se můžete setkat i s DPM – Defects Per Million units (počet defektů na 1 milion jednotek).

2.1    Základní požadavky

Stejně jako výpočet způsobilosti procesu i výpočet PPM má určité požadavky – při nedodržení daných požadavků vypočítaný výsledek nemusí odpovídat realitě.

1. Stabilní proces: v praxi se pro danou analýzu používají SPC karty (kontrola, jestli proces splňuje 8 základních testů regulačních diagramů – v programu MiniTab je možné vybrat všech 8 anebo jenom některé testy).
   Pro znázorněni níže je obrázek stabilního a modifikovaného procesu (simulace nestabilního procesu). Na druhém obrázku můžeme vidět proces rozdělen do 3 sekci, pro lepší znázornění rozdílů v hodnotách (posunutí procesu v čase).
   
2. Normalita procesu (ověření, jestli data pocházejí z normálního rozdělení): tahle podmínka je důležitá pro způsob výpočtu. Pro každé rozdělení může existovat jiný vzorec – ve většině knih jsou vzorce jenom pro procesy pocházející z normálního rozdělení. Statistické programy jako např. MiniTab umí pracovat i s procesy s ne-normálního rozdělení anebo provést transformaci hodnot.
   Pro daný test já používám „Probability plot“. Pokud je „P-Value > 0,05“, můžeme předpokládat, že data pocházejí z normálního rozdělení.
   
3. Data by měla byt z dlouhodobého sběru „long term process” LT. Pokud data pocházejí z krátkodobého procesu „short term process ST“, data jsou míň přesná (menší představa o zkoumaném procesu).
   Stejné je to i s indexem způsobilosti Cpk. Pro krátkodobou způsobilost se můžeme setkat s požadavkem >1,67 a pro dlouhodobou způsobilost stačí > 1,33.
   Nastává otázka kdy můžeme považovat data, za data z dlouhodobého procesů? Já osobně jsem to řešil, že jsem vzal data s minimálně 3 měsíční produkce a minimálně 300 hodnot (většinou to byl soubor 400 až 800 hodnot, záleží na typu výroby a sběru dat).

2.2  Výpočet

K výpočtu potřebujeme vědět:

• µ – průměrnou hodnotu
• σ – směrodatnou odchylku procesu

Pokud nemáme data z dlouhodobého procesu na základě SixSigma metodologie budeme počítat s  ±1,5.σ_ST posunutím průměrní hodnoty µ. Předpokládá se, že směrodatná odchylka se nebude měnit (σ_ST=σ_LT).  To znamená:
LSL – lower specific limit – spodní specifikovaný limit
USL – upper specifict limit – horní specifikovaný limit

Φ reprezentuje cumulative distribution function  CDF – kumulativní distribuční funkce standardní normální náhodné veličiny. V MS Excelu je to NORMDIST.

Syntax: NORM.DIST(hodnota;střed_hodn;sm_odch;1)

Nahoře v odkazu můžete najít Excel pro výpočet PPM. V daném dokumentu naleznete výpočet pro data z delšího sběru dat (Long term), ale i z krátkodobé analýzy (s posunutí průměrní hodnoty o ±1,5.σ_ST).
Sešit je zamčen bez hesla (jenom dát ENTER), pro případnou nechtěnou úpravu.

2.3 Krátkodobá versus dlouhodobá směrodatná odchylka

Táhle část je jenom pro informaci a vysvětlení určitých souvislostí, případně jako zajímavost pro lidí, co by chtěli tomu hlouběji porozumět anebo by to potřebovali pro náročnějšího zákazníka, který absolvoval Six Sigma školení.

V Excelu funkce: SMODCH.VÝBĚR.S  anebo STDEVA

Vzorce níže budete potřebovat v případě, že nepoužijete statistický software, ale výpočty z Excelu. Výpočet krátkodobé (ST) a dlouhodobé (LT) ze směrodatné odchylky [2]:
Pro index c₄ existují tabulky, kde hodnota se odvíjí od počtu hodnot, bohužel většina končí s počtem 25 vzorků (c₄₍₂₅₎=0,9896). Případně je možné danou hodnotu si vypočítat v Excelu podle vzorce níže. Γ(x) je možné v Excelu vypočítat pomoci funkce „=EXP(GAMMALN(x))“ [2]:
Pozn.: daný výpočet můžete naleznout v přiloženém Excel souborů na začátku článků.

Hlavním rozdílem mezi σ_ST a σ_LT je:

• Krátkodobá σ_ST počítá s variabilitou v rámci jednotlivých podskupin (zgrupované data) à menší variabilita. Hodnoty v rámci 1 výběru výrobků (1 podskupiny hodnot), by se mohli míň odlišovat než se budou odlišovat data z dalšího výběru výrobků (pozdější výroba)
• Dlouhodobá σ_LT počítá s celkovou variabilitou všech analyzovaných hodnot mezi sebou.

Možná jste si všimli, že v programu MiniTab jsou 2 směrodatné odchylky StDev(Within) a StDev(Overall).  A i způsobilost procesů je rozdělená do Cpk (Within), Ppk (Overall).

Tak to by mělo byt spojené se způsobem výpočtu směrodatné odchylky.

• StDev(Within) = σ_ST, počítá s variabilitou v rámci podskupin – potenciální způsobilost Cpk
• StDev(Overall) = σ_LT, počítá s celkovou variabilitou – celková způsobilost procesů Ppk

Použitá literatura

• [1] VDA 4 Zajišťování kvality před sériovou výrobou, VDA-svazek 4: Six Sigma, Česká společnost pro jakost, Prah 2005, s. 9
• [2] Mastering Six Sigma Statistic certification, The Brainmeasures, s. 347, 373-374